TS. Nguy¹n V«n Lñi (chõ bi¶n) − Ngæ Thà Nh¢

D

ra
ft

108 B€I TON CHÅN LÅC LÎP 5

Sigma - MATHS

Sigma - MATHS

108 b i to¡n chån låc lîp 5
Vîi c¡c ti¶u ch½ °t ra:
- Mët tuyºn tªp bao kh­p ch÷ìng tr¼nh håc lîp 5.
- Khâ vøa õ nh÷ng khæng th¡ch thùc.
- To¡n m  khæng khæ khan.
- Xùng ¡ng t¤o ni·m tin cho lùa tuêi vøa xong tiºu håc.
Möc ti¶u · ra ¢ l m cho t i li»u th nh k¸t qu£ t¼m tái, c¥n nh­c tø nhi·u
nguçn , ÷ñc bi¶n so¤n kÿ l÷ïng. Công ch¿ l  108 b i tªp to¡n, nh÷ng khi hñp
l¤i, béng nh÷ câ hçn th nh mët thº thèng nh§t. C¡c b i to¡n nh÷ sèng dªy v 
li¶n k¸t vîi nhau. . . .
Hy vång ni·m vui th nh cæng nho nhä cõa nhúng ng÷íi bi¶n so¤n s³ truy·n lûa
HAY - •P - SAY cho c¡c b¤n håc sinh, c¡c th¦y cæ v  c¡c bªc phö huynh khi
sû döng.
Xin tr¥n trång c£m ìn sü quan t¥m cõa b¤n åc!
Þ ki¸n xin chuyºn v·:
sigmathsgroup@gmail.com

1

MÖC LÖC

Sigma - MATHS

Möc löc
1
2
3
4
5
6
7

Ph¥n sè, hén sè
Sè thªp ph¥n, t¿ sè ph¦n tr«m
¤i l÷ñng t¿ l» thuªn, t¿ l» nghàch, t¿ l» k²p
Sè o thíi gian, to¡n chuyºn ëng ·u
H¼nh håc
Mët sè d¤ng b i to¡n kh¡c
¡p ¡n v  líi gi£i mët sè b i to¡n chån låc

2

3
5
7
9
12
19
21

Sigma - MATHS

1 Ph¥n sè, hén sè
35 85 65 75 189
1. Rót gån c¡c ph¥n sè sau: 28
; ; ;
;
.
51 39 100 105
1313 131313
2. Rót gån rçi so s¡nh c¡c ph¥n sè sau: 39
;
;
42 1414 141414

3. So s¡nh c¡c ph¥n sè sau: 45 ; 87 ; 89 ; 12
11
4. Khæng quy çng tû sè v  m¨u sè, h¢y so s¡nh c¡c ph¥n sè sau:
a) 45 v  32

11
b) 59 v  24

15
d) 14
v 
15
16

97
e) 96
v 
95
96

17
c) 13
v 
27
23

5. T¼m sè tü nhi¶n x bi¸t:
a) x9 = 53 ;

85
b) 17
=
;
x
105

d) x8 + 32 = 76 ;

27
e) x −3 7 = 135
.

c) 86 = 15
;
x

6. T¼m mët ph¥n sè tèi gi£n sao cho n¸u cëng th¶m 8 ìn và v o tû sè v  cëng
th¶m 10 ìn và v o m¨u sè th¼ ÷ñc mët ph¥n sè mîi b¬ng ph¥n sè ¢ cho.

7. Cho ph¥n sè 112 . Häi ph£i cëng th¶m v o tû sè v  m¨u sè cõa ph¥n sè ¢
cho còng mët sè tü nhi¶n n o º ÷ñc ph¥n sè b¬ng 74 ?

8. T¼m ph¥n sè câ tû sè lîn hìn m¨u sè 8 ìn và v  sau khi rót gån ta ÷ñc
ph¥n sè 35 .

9. T¼m ph¥n sè tèi gi£n mn , bi¸t r¬ng ph¥n sè m n+ n g§p 7 l¦n ph¥n sè mn .

3

Sigma - MATHS

10. Mët tr¤i ch«n nuæi câ 43 sè bá b¬ng 23 sè d¶, bi¸t sè bá ½t hìn sè d¶ l  12
con. Häi tr¤i ch«n nuæi câ bao nhi¶u con bá? Bao nhi¶u con d¶?

11. Tuêi Bè b¬ng 89 tuêi Mµ, tuêi Lan b¬ng 14 tuêi Mµ, têng sè tuêi cõa Bè v 

Lan l  44 tuêi. Häi méi ng÷íi bao nhi¶u tuêi?

12. Câ ba b¼nh n÷îc m­m chùa têng cëng 66 l½t, b¼nh thù hai chùa b¬ng 21

b¼nh thù nh§t, b¼nh thù ba chùa b¬ng 23 b¼nh thù hai. Häi méi b¼nh chùa bao
nhi¶u l½t n÷îc m­m?

13. Hai vái n÷îc còng ch£y v o mët bº c¤n. N¸u vái thù nh§t ch£y mët m¼nh
trong 5 gií th¼ s³ ¦y bº. N¸u vái thù hai ch£y mët m¼nh th¼ bº s³ ¦y sau 7
gií. Häi n¸u c£ hai vái còng ch£y th¼ bº s³ ¦y sau m§y gií?

14. Hai ng÷íi l m chung mët cæng vi»c trong 12 gií th¼ xong. Ng÷íi thù nh§t
l m mët m¼nh 23 cæng vi»c th¼ m§t 10 gií, häi ng÷íi thù hai l m 13 cæng vi»c
cán l¤i m§t bao nhi¶u l¥u?

15. Lîp 5A1 v  5A2 câ 87 håc sinh, bi¸t r¬ng 75 sè håc sinh cõa lîp 5A1 b¬ng
2
3

sè håc sinh cõa lîp 5A2. Häi méi lîp câ bao nhi¶u håc sinh?

16. Mët h¼nh tam gi¡c câ chu vi l  120cm. Sè o ba c¤nh cõa tam gi¡c t¿ l» vîi

5, 12, 13.

T¼m sè o c¡c c¤nh cõa tam gi¡c.

17. Mët ëi cæng nh¥n l m ÷íng trong 3 ng y. Ng y thù nh§t l m ÷ñc 72

cæng vi»c, ng y thù hai l m ÷ñc 38 cæng vi»c, ng y thù ba l m nèt 57 m²t cuèi.
Häi ëi cæng nh¥n â ph£i l m bao nhi¶u m²t ÷íng?

18. Mët æ tæ ch¤y qu¢ng ÷íng AB trong 3 gií. Gií ¦u ch¤y ÷ñc 25 qu¢ng

÷íng AB. Gií thù hai ch¤y ÷ñc 25 qu¢ng ÷íng cán l¤i v  th¶m 4km. Gií
thù ba ch¤y nèt 50km cuèi. T½nh qu¢ng ÷íng AB.
4

2 Sè thªp ph¥n, t¿ sè ph¦n tr«m

Sigma - MATHS

19. Vi¸t c¡c ph¥n sè sau ¥y d÷îi d¤ng sè thªp ph¥n:
5 2 17 16 132
; ; ; ;
2 5 8 25 125

20. Vi¸t c¡c sè sau th nh sè thªp ph¥n:
3 2 18 1
26 ; 7 ; 5 ; 1
8 5 25 2

21. Vi¸t c¡c sè thªp ph¥n sau ¥y d÷îi d¤ng ph¥n sè:
2, 15; 5, 022; 4, 6; 0, 324

22. Khi nh¥n mët sè vîi 124, mët b¤n håc sinh ¢ °t c¡c t½ch ri¶ng th¯ng cët

vîi nhau n¶n d¨n ¸n k¸t qu£ sai l  88,2. Em h¢y t¼m k¸t qu£ óng cõa ph²p
nh¥n.

23. Mët cûa h ng câ 86,5 t¤ ÷íng. Ng y thù nh§t cûa h ng b¡n ÷ñc 26,7 t¤,
ng y thù hai b¡n ÷ñc nhi·u hìn ng y thù nh§t 6,78 t¤. Häi sau hai ng y b¡n,
cûa h ng cán l¤i bao nhi¶u t¤ ÷íng?

24. Câ ba tê cæng nh¥n tham gia ­p ÷íng, tê mët ­p ÷ñc 25,7m, tê hai

­p ÷ñc hìn tê mët 5,3m v  ­p k²m tê ba 3,5m. Häi c£ ba tê ­p ÷ñc t§t
c£ bao nhi¶u m²t ÷íng?

25. Mët såt cam n°ng têng cëng 76,65kg. Bi¸t r¬ng n¸u l§y 4kg ð såt thù nh§t
chuyºn sang såt thù hai th¼ såt thù hai n°ng hìn såt thù nh§t 1,85kg. Häi méi
såt cam n°ng bao nhi¶u kilgam?

26. Nh  An nuæi 8 con bá, trong â câ 3 con bá üc. Häi

a) Sè bá üc chi¸m bao nhi¶u ph¦n tr«m têng sè bá?
b) T¿ sè ph¦n tr«m giúa sè bá üc v  sè bá c¡i l  bao nhi¶u?
5

Sigma - MATHS

27. Mët x½ nghi»p câ 60 cæng nh¥n ÷ñc chia th nh hai tê, trong â tê mët

chi¸m 40% têng sè cæng nh¥n. Häi
a) Tê mët câ bao nhi¶u cæng nh¥n?
b) T¿ sè ph¦n tr«m giúa sè cæng nh¥n tê mët v  sè cæng nh¥n tê hai l  bao
nhi¶u?

28. Mët ng÷íi b¡n m¡y quay sinh tè vîi gi¡ 403300 çng, t½nh ra ng÷íi â
÷ñc l¢i 9% gi¡ vèn. Häi ng÷íi â ÷ñc l¢i bao nhi¶u ti·n?
× 5, 1 − 30, 3 × 3, 4 + 14, 58
29. T½nh nhanh: A = 20,14,2 58
× 460 + 7, 29 × 540 × 2

30. T¼m hai sè, bi¸t trung b¼nh cëng cõa chóng l  sè tü nhi¶n lîn nh§t câ hai
chú sè v  sè n y b¬ng 80% sè kia.

31. Trong mët ph²p chia sè thªp ph¥n, th÷ìng óng l  102,5. Khi thüc hi»n
ph²p chia, mët håc sinh ¢ qu¶n °t mët sè 0 ð th÷ìng n¶n lóc thû l¤i b¬ng
c¡ch l§y th÷ìng nh¥n vîi sè chia, ÷ñc mët sè nhä hìn sè bà chia 432,9 ìn và.
T¼m sè bà chia v  sè chia.

32. Câ ba xe t£i chð têng cëng 15,6 t§n h ng hâa. Xe thù nh§t chð b¬ng 43 xe

thù hai, xe thù ba chð ½t hìn têng sè h ng hâa hai xe ¦u chð ÷ñc l  1,2 t§n.
Häi méi xe chð ÷ñc bao nhi¶u t§n h ng hâa?

33. N÷îc biºn chùa 4% muèi. C¦n ê th¶m bao nhi¶u gam n÷îc l¢ v o 600g
n÷îc biºn º t¿ l» muèi trong dung dàch l  2%.

34. Mët ng÷íi gûi ti¸t ki»m 15 tri»u çng vîi l¢i su§t 1, 1% mët th¡ng. T½nh:
a) Sè ti·n l¢i sau mët th¡ng.
b) Sè ti·n c£ gèc v  l¢i sau hai th¡ng n¸u ng÷íi â ch¿ ¸n rót ti·n mët l¦n.
c) Sè ti·n c£ gèc v  l¢i sau ba th¡ng n¸u ng÷íi â ch¿ ¸n rót ti·n mët l¦n.

35. Mët h¼nh chú nhªt câ chi·u rëng b¬ng 75% chi·u d i. N¸u t«ng chi·u d i
th¶m 2m th¼ di»n t½ch t«ng th¶m 12m2. T½nh chu vi v  di»n t½ch cõa h¼nh chú
nhªt â.

36. H¢y so s¡nh A v  B, bi¸t A = 19, 93 × 19, 99; B = 19, 96 × 19, 96.
6

3 ¤i l÷ñng t¿ l» thuªn, t¿ l» nghàch, t¿ l» k²p

Sigma - MATHS

37. Tê 1 lîp 5A câ 11 håc sinh trçng ÷ñc 55 c¥y. Häi c£ lîp 5A trçng ÷ñc

bao nhi¶u c¥y? Bi¸t r¬ng lîp 5A câ 42 håc sinh v  sè c¥y méi håc sinh trçng
÷ñc ·u b¬ng nhau.

38. Mët cûa h ng nhªp kho mët l÷ñng h ng hâa vîi dü t½nh õ b¡n trong 20
ng y, méi ng y b¡n ÷ñc 320 h ng hâa, nh÷ng thüc t¸ méi ng y cûa h ng â
¢ b¡n ÷ñc 400 h ng hâa. Häi vîi sè h ng hâa ¢ nhªp kho th¼ õ b¡n ÷ñc
bao nhi¶u ng y?

39. º hót c¤n n÷îc cõa mët c¡i hç ng÷íi ta sû döng 15 m¡y bìm l m vi»c
trong 12 gií. Häi n¸u hót c¤n hç â ch¿ trong 9 gií th¼ c¦n ph£i sû döng bao
nhi¶u m¡y bìm? Bi¸t n«ng su§t c¡c m¡y nh÷ nhau.

40. Mët tê thñ may câ 15 ng÷íi trong 6 ng y l m vi»c may ÷ñc 135 bë qu¦n

¡o. Häi n¸u tê â câ 18 ng÷íi l m vi»c trong 8 ng y th¼ s³ may ÷ñc bao nhi¶u
bë qu¦n ¡o? Bi¸t n«ng su§t l m vi»c cõa méi ng÷íi ·u nh÷ nhau.

41. Mët ëi cæng nh¥n câ 40 ng÷íi ÷ñc giao nhi»m vö ho n th nh cæng vi»c
trong 15 ng y. Sau khi l m ÷ñc 3 ng y th¼ 20 cæng nh¥n ÷ñc i·u i nìi kh¡c.
Häi ëi cæng nh¥n â ho n th nh cæng vi»c ÷ñc giao trong bao nhi¶u ng y?
Bi¸t n«ng su§t l m vi»c cõa måi ng÷íi trong mët ng y l  nh÷ nhau.

42. Mët ph¥n x÷ðng mëc câ 30 ng÷íi ÷ñc giao nhi»m vö âng mët læ b n gh¸

trong 8 ng y, méi ng y l m vi»c 8 gií. Sau 2 ng y l m vi»c th¼ câ 18 ng÷íi ÷ñc
i·u i l m vi»c kh¡c v  sè cán l¤i t«ng thíi gian l m vi»c méi ng y th¶m 2
gií. Häi ph¥n x÷ðng â ho n th nh khèi l÷ñng cæng vi»c ÷ñc giao trong bao
nhi¶u ng y? Bi¸t n«ng su§t l m vi»c cõa méi ng÷íi nh÷ nhau.

43. Mët ìn và bë ëi chu©n bà g¤o cho 70 ng÷íi «n trong 30 ng y. Sau khi «n

÷ñc 6 ng y th¼ câ 10 ng÷íi chuyºn i nìi kh¡c. Häi sè g¤o cán l¤i õ cho sè
ng÷íi cán l¤i cõa ìn và â «n trong bao nhi¶u ng y núa? Bi¸t r¬ng mùc «n
cõa måi ng÷íi trong mët ng y l  nh÷ nhau.

7

Sigma - MATHS

44. Mët ìn và bë ëi câ 120 ng÷íi em theo 1440kg g¤o v  dü ành «n õ

trong 15 ng y. Nh÷ng sau â 2 ng y, câ 30 ng÷íi chuyºn sang ìn và kh¡c v 
mang theo 528kg g¤o. Häi sè g¤o cán l¤i ìn và câ thº «n ÷ñc bao nhi¶u ng y
núa? Bi¸t méi ng÷íi trong mët ng y «n h¸t sè g¤o nh÷ nhau.

45. B¸p «n cõa mët ìn và bë ëi chu©n bà õ g¤o cho 356 chi¸n s¾ «n trong

30 ng y. Do nhi»m vö ët xu§t n¶n sau 9 ng y th¼ câ mët sè chi¸n s¾ ÷ñc i·u
i l m nhi»m vö ð t¿nh kh¡c. V¼ vªy sè g¤o ¢ chu¦n bà «n ÷ñc nhi·u hìn dü
ki¸n 7 ng y. Häi ¢ câ bao nhi¶u chi¸n s¾ ÷ñc i·u i t¿nh kh¡c?

46. B¤n Ngåc mua 2 bót bi v  5 quyºn vð h¸t 74000 çng. H¢y t½nh gi¡ ti·n

mët chi¸c bót bi, gi¡ ti·n mët quyºn vð, bi¸t b¤n Mai công mua 3 bót bi v  4
quyºn vð nh÷ vªy h¸t 69000 çng.

47. Mët ng÷íi dü ành i tø A ¸n B trong 6 gií nh÷ng do tríi m÷a n¶n vªn

tèc thüc t¸ b¬ng 45 vªn tèc dü ki¸n. Häi ng÷íi â ¸n B chªm hìn dü ành bao
l¥u?

48. Mët ëi xe vªn chuyºn câ 39 xe gçm hai tê: tê 1 l  c¡c xe lo¤i 8 t§n, tê hai

l  c¡c xe lo¤i 5 t§n. Häi méi tê câ bao nhi¶u xe? Bi¸t r¬ng hai tê nhªn chð sè
h ng hâa b¬ng nhau v  méi xe ch¿ chð mët l÷ñt.

49. Nh  An câ 12 thòng n÷îc m­m nh÷ nhau üng ÷ñc t§t c£ 216 l½t, sau â
nh  An b¡n h¸t 90 l½t n÷îc m­m. Häi nh  An cán l¤i bao nhi¶u thòng n÷îc
m­m?

50. Cûa h ng câ 15 tói bi, cûa h ng b¡n h¸t 84 vi¶n bi v  cán l¤i 8 tói bi. Häi

tr÷îc khi b¡n cûa h ng câ bao nhi¶u vi¶n bi?

51. Khèi lîp 5 câ têng cëng 147 håc sinh, t½nh ra cù 3 håc sinh nam th¼ câ 4
håc sinh nú. Häi khèi lîp n«m câ bao nhi¶u håc sinh nam? Bao nhi¶u håc sinh
nú?

52. Ba ng÷íi l m xong mët con ÷íng trong 14 ng y. Häi muèn l m xong con
÷íng â trong 7 ng y th¼ ph£i c¦n câ bao nhi¶u ng÷íi?
8

Sigma - MATHS

53. Mët cûa h ng câ mët sè d¦u ÷ñc chia th nh hai ph¦n b¬ng nhau. ph¦n

thù nh§t chùa trong c¡c thòng 15 l½t, ph¦n thù hai chùa trong c¡c thòng 20 l½t,
têng sè thòng d¦u hai lo¤i l  14 thòng. Häi cûa h ng câ bao nhi¶u thòng méi
lo¤i?

54. Ng÷íi ta muèn mua mët mi¸ng §t câ di»n t½ch nh§t ành º l m tr¤i ch«n
nuæi. N¸u chi·u d i cõa mi¸ng §t l  80m th¼ chi·u rëng ph£i l  60m, nh÷ng
ch¿ t¼m ÷ñc mi¸ng §t câ chi·u rëng 40m. Vªy ph£i l§y chi·u chi·u d i l  bao
nhi¶u º câ õ di»n t½ch dü trú?

4 Sè o thíi gian, to¡n chuyºn ëng ·u
55. H¬ng ng y mët xe kh¡ch i tø b¸n A ¸n b¸n B vîi vªn tèc 45km/gií. Hæm

nay v¼ xu§t ph¡t muën 9 phót n¶n xe æ tæ ph£i t«ng vªn tèc th¶m 5km/gií v 
¸n B óng thíi gian nh÷ måi hæm. T½nh qu¢ng ÷íng AB.

56. Mët ng÷íi i bë tø A ¸n B vîi vªn tèc 6km/gií. Khi tø B v· A, ng÷íi

â ¢ i b¬ng xe ¤p vîi vªn tèc 18km/gií tr¶n mët con ÷íng kh¡c d i hìn
qu¢ng ÷íng lóc i l  6km. T½nh qu¢ng ÷íng lóc i bi¸t r¬ng têng thíi gian
ng÷íi â i v  v· h¸t 3 gií 40 phót.

57. Mët ng÷íi i xe ¤p tø A ¸n B lóc 8 gií 30 phót vîi vªn tèc 15km/gií.

Sau â, mët ng÷íi i xe m¡y công tø A ¸n B vîi vªn tèc 36km/gií. Häi ng÷íi
i xe m¡y ph£i khði h nh lóc n o º ¸n B còng mët lóc vîi ng÷íi i xe ¤p?
Bi¸t r¬ng qu¢ng ÷íng AB d i 54km.

58. Hai b¸n sæng A v  B c¡ch nhau 54km. Mët ca næ xuæi dáng tø A ¸n B h¸t
2 gií, nh÷ng khi ng÷ñc dáng tø B v· A th¼ h¸t 3 gií. T½nh vªn tèc cõa dáng
n÷îc ch£y.

59. T½nh vªn tèc cõa mët o n t u häa d i 180m. Bi¸t r¬ng:

a) o n t i â v÷ñt qua mët cët i»n b¶n ÷íng h¸t 15 gi¥y.
b) o n t u â v÷ñt qua mët c¥y c¦u d i 1250m h¸t 2 phót 10 gi¥y.
c) o n t u â v÷ñt qua mët ng÷íi i xe ¤p còng chi·u vîi vªn tèc 10,8km/gií
h¸t 30 gi¥y.
d) o n t u â v÷ñt qua mët ng÷íi i xe ¤p ng÷ñc chi·u vîi vªn tèc 12,6km/gií
h¸t 12 gi¥y.
9

Sigma - MATHS

60. T½nh chi·u d i cõa o n t u häa bi¸t o n t u câ vªn tèc 54km/gií v :

a) o n t u â v÷ñt qua mët cët i»n b¶n ÷íng h¸t 10 gi¥y.
b) o n t u â v÷ñt qua mët chi¸c h¦m d i 2150m h¸t 2 phót 30 gi¥y.
c) o n t u â v÷ñt qua mët ng÷íi i bë còng chi·u vîi vªn tèc 7,2km/gií h¸t
14 gi¥y.
d) o n t u â v÷ñt qua mët ng÷íi i xe m¡y ng÷ñc chi·u vîi vªn tèc 43,2km/gií
h¸t 8 gi¥y.

61. Mët ng÷íi i bë, ríi khäi nh  lóc 8 gií v  i ¸n chñ lóc 8 gií 24 phót th¼
¸n chñ, bi¸t qu¢ng ÷íng tø nh  ¸n chñ d i 2km. Häi ng÷íi â i vîi vªn tèc
b¬ng bao nhi¶u?

62. Mët ng÷íi ch¤y tø iºm A ¸n iºm B v  tø B ch¤y v· iºm A, thíi gian

ch¤y h¸t 3 phót 50 gi¥y, bi¸t kho£ng c¡ch giúa hai iºm A v  B d i 575m. T½nh
vªn tèc ch¤y cõa ng÷íi â b¬ng m/gi¥y.

63. Lóc 7 gií, mët ng÷íi i bë khði h nh tø x¢ A vîi vªn tèc 6km/gií, i ¸n
7 gií 30 phót ng÷íi â ngh¿ l¤i 15 phót rçi l¶n æ tæ i ti¸p ¸n x¢ B lóc 8 gií
30 phót. T½nh qu¢ng ÷íng tø x¢ A ¸n x¢ B, bi¸t æ tæ i vîi vªn tèc 60km/gií.

64. Lóc 6 gií mët xe m¡y khði h nh tø t¿nh A i v· h÷îng t¿nh B vîi vªn tèc
44km/gií, lóc 6 gií 30 phót mët ng÷íi kh¡c i æ tæ tø t¿nh B v· t¿nh A vîi vªn
tèc 56km/gií, v  hai ng÷íi g°p nhau lóc 7 gií 15 phót. T½nh qu¢ng ÷íng tø
t¿nh A ¸n t¿nh B.

65. Hai t¿nh A v  B c¡ch nhau 72km, lóc 7 gií mët æ tæ i tø t¿nh A vîi vªn
tæc s48km/gií. Häi ¸n m§y gií th¼ ng÷íi â ¸n t¿nh B?

66. Hai x¢ A v  B c¡ch nhau 12km. Anh Dông ríi x¢ A º i ¸n x¢ B, i
bë ÷ñc 3km, anh Dông l¶n xe m¡y i th¶m 15 phót núa th¼ ¸n x¢ B. Häi
n¸u anh Dông i xe m¡y ngay tø ¦u th¼ thíi gian i tø x¢ A ¸n x¢ B l  bao l¥u?

67. Hai ng÷íi ð hai x¢ A v  B c¡ch nhau 18km, còng khði h nh b¬ng xe ¤p lóc

6 gií v  i ng÷ñc chi·u nhau. Ng÷íi thù nh§t i vîi vªn tèc 14km/gií, ng÷íi
thù hai i vîi vªn tèc 10km/gií. Häi ¸n m§y gií th¼ hai ng÷íi g°p nhau?

10

Sigma - MATHS

68. Hai thà x¢ A v  B c¡ch nhau 54km. Anh B¬ng i xe m¡y tø A ¸n B v 
anh Dông công i xe m¡y nh÷ng tø B v· A, hai ng÷íi khði h nh công mët lóc
v  sau 54 phót th¼ hai ng÷íi g°p nhau, ché g°p nhau c¡c thà x¢ A 25,2km. Häi
vªn tèc cõa méi ng÷íi l  bao nhi¶u?

69. Ba t¿nh A, B v  C còng n¬m tr¶n mët qu¢ng ÷íng v  t¿nh B ð giúa hai

t¿nh A v  C; hai t¿nh A v  B c¡ch nhau 32km. Lóc 6 gií mët ng÷íi khði h nh
tø B i v· C vîi vªn tèc 23km/gií, còng lóc â câ mët ng÷ði khði h nh tø A
công i v· C vîi vªn tèc 39km/gií. Häi ¸n lóc m§y gií th¼ ng÷íi i tø A uêi
kàp ng÷íi i tø B?

70. B¡c Ba v  b¡c T÷ ·u i tø t¿nh A ¸n t¿nh B, lóc 6 gií b¡c Ba b­t ¦u i

vîi vªn tèc 12km/gií, ¸n 6 gií 45 phót b¡c T÷ mîi b­t ¦u i v  i vîi vªn
tèc 15km/gií. Häi ¸n m§y gií b¡c T÷ mîi duêi kàp b¡c Ba?

71. Qu¢ng ÷íng tø A ¸n B cõa mët khóc sæng l  143km; vªn tèc dáng n÷îc

l  6km/gií. Mët ca næ tø A xuæi dáng v· B, mët ca næ kh¡c ng÷ñc dáng tø B
v· A, hai ca næ khði h nh lóc 7 gií, vªn tèc cõa éi ca næ l  26km/gií. Häi ¸n
m§y gií hai ca næ g°p nhau?

72. Lóc 6 gií, t¤i iºm A câ mët chi¸c thuy·n khði h nh xuæi theo dáng n÷îc,

i ÷ñc mët qu¢ng ÷íng thuy·n quay ng÷ñc dáng v  v· ¸n B lóc 9 gií.
Häi thuy·n i c¡ch iºm A bao xa mîi quay l¤i? Bi¸t vªn tèc cõa thuy·n l 
25km/gií, vªn tèc dáng n÷îc l  5km/gií.

11

Sigma - MATHS

5 H¼nh håc

73. Cho h¼nh tam gi¡c ABC câ iºm N l  iºm ch½nh giúa c¤nh AC, tr¶n h¼nh
â câ h¼nh thang BMNE nh÷ h¼nh v³. Nèi B vîi N, nèi E vîi M, hai o¤n th¯ng
n y g°p nhau ð iºm O.
a) So s¡nh di»n t½ch hai tam gi¡c OBM v  OEN.
b) So s¡nh di»n t½ch h¼nh tam gi¡c EMC vîi di»n t½ch h¼nh AEMB.

74. Cho tam gi¡c ABC. M l  iºm ch½nh giúa c¤nh BC, N l  iºm ch½nh giúa
c¤nh AC. AM v  AN c­t nhau t¤i G.
a) So s¡nh di»n t½ch tam gi¡c BGM, CGM, AGN, CGN.
b) Nèi C vîi G v  k²o d i CG c­t c¤nh AB t¤i P. Chùng minh AP = BP.

75. Cho tam gi¡c ABC. M l  iºm ch½nh giúa c¤nh BC, N l  iºm ch½nh giúa

c¤nh AC, P l  iºm ch½nh giúa cõa c¤nh AB, ba o¤n th¯ng AM, BN v  CP
c­t nhau t¤i G.
a) Chùng minh ba o¤n th¯ng AM, BN v  CP chia tam gi¡c ABC th nh 6 tam
gi¡c câ di»n t½ch b¬ng nhau.
AG
BG
CG 2
=
=
= .
b) Chùng minh: AM
BN
CP
3

12

Sigma - MATHS

76. T½nh di»n t½ch h¼nh thang ABCD. Bi¸t di»n t½ch c¡c h¼nh tam gi¡c AOD
v  DOC nh÷ h¼nh v³.

77. Cho h¼nh thang vuæng MNPQ vuæng gâc t¤i M v  Q; P Q = 12 M N . K²o
d i MQ v  NP c­t nhau t¤i A.
a) So s¡nh di»n t½ch hai tam gi¡c MNP v  MQN.
b) So s¡nh di»n t½ch hai tam gi¡c AQP v  AQN.
c) Di»n t½ch h¼nh thang MNPQ b¬ng 63cm2. T½nh di»n t½ch tam gi¡c AQP.

13

Sigma - MATHS

78. Cho h¼nh thang ABCD (hai ¡y l  AB, CD). Tr¶n ÷íng ch²o AC l§y iºm

M sao cho MA = MC. Tø M k´ ÷íng th¯ng song song vîi ÷íng ch²o DB c­t
DC t¤i N (h¼nh v³). Chùng minh r¬ng o¤n th¯ng BN chia h¼nh thang ABCD
th nh hai ph¦n câ di»n t½ch b¬ng nhau.

79. Cho h¼nh thang ABCD câ AB song song vîi CD v  di»n t½ch b¬ng 40cm .
2

K²o d i AB mët o¤n BM sao cho AB = BM, k²o d i BC mët o¤n CN sao
cho BC = CN, k²o d i CD mët o¤n DP sao cho CD = DP, k²o d i DA mët
o¤n AQ sao cho DA = AQ. Nèi M, N, P, Q. T¼m di»n t½ch tù gi¡c MNPQ.

14

Sigma - MATHS

80. Cho h¼nh chú nhªt ABCD câ chu vi l  78cm, chi·u d i AB hìn chi·u rëng

BC l  15cm. Tr¶n BC l§y iºm M, tr¶n CD l§y iºm N sao cho hai ÷íng th¯ng
AM, AN chia h¼nh chú nhªt th nh 3 ph¦n câ di»n t½ch b¬ng nhau. T½nh ë d i
o¤n CM, CN.

81. Cho h¼nh chú nhªt ABCD. Tr¶n c¤nh AB l§y iºm M b§t k¼. Chùng minh
r¬ng SDM C = 12 SABCD .

15

Sigma - MATHS

82. Cho h¼nh chú nhªt ABCD. I l  iºm ch½nh giúa c¤nh AB. Nèi D vîi I, o¤n

th¯ng DB c­t o¤n th¯ng IC t¤i K (h¼nh v³).
a) Chùng minh r¬ng SDIK = 12 SDBC .
b) K´ IP vuæng gâc vîi DB; k´ CQ vuæng gâc vîi DB. Chùng minh r¬ng
SDIC = 3SDIK .
c) Bi¸t SDIK = 8cm2. T½nh di»n t½ch h¼nh chú nhªt ABCD.

83. Cho h¼nh chú nhªt ABCD v  c¡c iºm M, O, I sao cho MI = ID v  AO
= OI (h¼nh v³). Bi¸t di»n t½ch tam gi¡c MOI l  25m2. Häi di»n t½ch h¼nh chú
nhªt ABCD b¬ng bao nhi¶u h²c-ta?

16

Sigma - MATHS

84. Cho h¼nh trán t¥m O ti¸p xóc vîi 4 c¤nh cõa h¼nh vuæng ABCD (nh÷ h¼nh
v³). Bi¸t di»n t½ch h¼nh vuæng l  400cm2. T½nh:
a) Di»n t½ch h¼nh trán t¥m O.
b) Di»n t½ch ph¦n m u v ng.

85. Mët pháng håc trong láng d i 7m, rëng 5m, cao 3,5m. C¡c cûa ra v o v 

chi¸m 16m2. T¼m ph½ tên qu²t væi t÷íng ph¦n b¶n trong c«n pháng. Bi¸t r¬ng
qu²t væi 1m2 tèn 5000 çng.

86. em 9,25m d¥y gai buëc th nh h¼nh chú nhªt tr¶n t§t c£ c¡c m°t cõa mët

c¡i thòng c¡c tæng h¼nh lªp ph÷ìng (xem h¼nh v³). Ph¦n c¡c cët nót chi¸m
2,5dm. T½nh di»n t½ch to n ph¦n c¡i thòng.

17

Sigma - MATHS

87. H¼nh vuæng ABCD câ c¤nh d i 5cm v  câ M, N, P, Q l  c¡c trung iºm
cõa bèn c¤nh. T½nh di»n t½ch ph¦n m u v ng.

88. Bi¸t c¤nh cõa méi æ vuæng trong h¼nh d÷îi ·u d i 1cm. T½nh têng chu vi
v  têng di»n t½ch cõa t§t c£ c¡c h¼nh vuæng ð trong â.

89. B¡c T÷ câ mët thûa ruëng h¼nh tam gi¡c vuæng câ hai c¤nh gâc vuæng d i

60m v  30m. N«m nay x¢  o mët con m÷ìng rëng 3m ch¤y dåc theo c¤nh 60m
(xem h¼nh v³). Em h¢y t½nh di»n t½ch thûa ruëng cán l¤i.

90. L m xong mët m£nh §t h¼nh thang, b¤n An ÷îc l÷ñng ¡y b² d i 25m,

b¤n B¼nh ÷îc l÷ñng ¡y b² d i 20m, cán b¤n Hoa ÷îc l÷ñng ¡y lîn d i g§p
dæi ¡y b². Cæ gi¡o nâi "C¡c em ÷îc l÷ñng ·u sai. ×îc l÷ñng nh÷ An th¼ di»n
t½ch m£nh §t t«ng th¶m 45m2, ÷îc l÷ñng nh÷ B¼nh th¼ di»n t½ch m£nh §t
t«ng th¶m 45m2, ÷îc l÷ñng nh÷ Hoa th¼ i·u â ch¿ óng khi c£ ¡y lîn v  ¡y
b² còng ÷ñc t«ng th¶m 2m núa". Em h¢y t½nh di»n t½ch m£nh §t h¼nh thang
â.
18

6 Mët sè d¤ng b i to¡n kh¡c
91. T¼m sè cán thi¸u:

1 + 

9



+3 :4=

Sigma - MATHS

8
9

92. Mët ëi qu¥n ki¸n ang di c÷. C¡c chi¸n binh ki¸n mang ½t hìn nûa sè thùc

«n trong l¦n h nh qu¥n ¦u ti¶n l  120g. L¦n h nh qu¥n thù hai, chóng s­p
x¸p º mang nhi·u hìn nûa sè thùc «n cán l¤i 100g. V  l¦n h nh qu¥n thù ba
chóng mang theo 480g thùc «n. Cán l¤i 280g thùc «n v¨n ch÷a mang i ÷ñc.
Häi ban ¦u c¡c chi¸n binh ki¸n câ bao nhi¶u thùc «n?

93. Mët rê t¡o chu©n bà ÷ñc chia cho måi ng÷íi. N¸u méi ng÷íi l§y 3 qu£
t¡o th¼ s³ thøa ra 16 qu£ t¡o. N¸u méi ng÷íi l§y 5 qu£ t¡o th¼ s³ thi¸u 4 qu£
t¡o. Häi câ bao nhi¶u ng÷íi chia nhau rê t¡o â? Câ bao nhi¶u qu£ t¡o trong rê?

94. Mët nhâm cæng nh¥n x¥y düng ang l¡t ÷íng. N¸u l¡t ÷ñc 200m/ng y,

hå s³ ho n th nh cæng vi»c sîm hìn làch tr¼nh 6 ng y. Cán n¸u ch¿ l¡t ÷ñc
160m/ng y, cæng vi»c cõa hå s³ bà tr¹ 4 ng y so vîi k¸ ho¤ch. Häi con ÷íng
d i bao nhi¶u m²t?

95. Trong d¢y sè: 4, 7, 10, · · · , 295, 298. Sè 298 l  sè thù bao nhi¶u?
96. Câ 30 h ng gh¸ ð c¡nh ph½a B­c cõa mët s¥n vªn ëng. H ng sau nhi·u
hìn h ng tr÷îc 2 gh¸. H ng gh¸ cuèi còng câ 132 gh¸. Häi câ bao nhi¶u gh¸ ð
h ng ¦u ti¶n? V  câ t§t c£ bao nhi¶u gh¸ ð c¡nh ph½a B­c?

97. ành ngh¾a ph²p t½nh mîi:
334 = 3 + 4 + 5 + 6
536 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
633 = 6 + 7 + 8

T¼m gi¡ trà cõa n trong ph²p to¡n n38 = 60.
2 6
8
4 5
9
98. ành ngh¾a ph²p t½nh mîi: 88 43 = 11
,
=
v 
= .
32 5 7 35
7 8 56
11
T¼m 13
.
15 12

99. Mët chi¸c hëp câ chùa nhúng vi¶n bi xanh. Hai chi¸c hëp kh¡c l¤i ch¿ chùa
19

Sigma - MATHS

bi tr­ng. Nh¢n tr¶n hëp A: Bi tr­ng; nh¢n tr¶n hëp B: bi xanh; nh¢n tr¶n hëp
C: hëp B chùa bi xanh. Häi hëp n o chùa bi xanh n¸u hai trong sè ba nh¢n
tr¶n ¢ bà d¡n nh¦m.

100. Bèn h nh kh¡ch A, B, C, D °t ché ð mët kh¡ch s¤n 18 t¦ng. Hå ¸n tø

c¡c n÷îc Trung Quèc, ùc, Mexico v  Ai Cªp. T¦ng m  A ð câ sè g§p 4 l¦n
sè ð t¦ng cõa ng÷íi M¶-xi-cæ. Ng÷íi ùc ð cao hìn ng÷íi B 4 t¦ng nh÷ng th§p
hìn ng÷íi Ai Cªp. Ng÷íi Ai Cªp ð th§p hìn ng÷íi A 6 t¦ng. T§t c£ sè t¦ng
m  hå ð ·u l  sè ch®n. Gh²p A, B, C, D vîi óng §t n÷îc cõa hå v  sè t¦ng
trong kh¡ch s¤n.

101. Mët b¡c næng d¥n câ 145 con g  v  con thä. Chóng câ t§t c£ câ 410 ch¥n.
Häi câ bao nhi¶u con g ? Bao nhi¶u con thä?

102. Mët con g  trèng gi¡ 5 quan ti·n (ti·n çng dòng ð Trung Quèc thíi x÷a),

mët con g  m¡i câ gi¡ 3 quan v  mët con g  con gi¡ 1 quan. N¸u 100 con gia
c¦m ¢ ÷ñc mua vîi gi¡ 100 quan th¼ häi trong â câ bao nhi¶u g  trèng, g 
m¡i v  g  con?

103. T½nh:

1
1

2+
3+

1
4+

1
5

104. T½nh 1 ×1 5 + 5 ×1 9 + 9 ×1 13 + · · · + 97 ×1 101 .
105. Câ 3 æi t§t x¡m, 3 æi t§t v ng ð trong ng«n k²o. Häi Alan ph£i l§y ra
khäi ng«n k²o bao nhi¶u chi¸c t§t trong mët c«n pháng tèi º câ ÷ñc mët c°p
t§t còng m u?

106. iºm cao nh§t trong mët ký thi k¸t thóc mæn To¡n trong lîp 5G l  99.

iºm th§p nh§t trong ký thi â l  91. Câ ½t nh§t n«m håc sinh câ còng iºm.
Häi sè håc sinh tèi thiºu trong lîp 5G l  bao nhi¶u?

107. 70 håc sinh cõa tr÷íng tiºu håc Thomson tham gia mët cuëc thi to¡n
håc. iºm sè trung b¼nh cõa c¡c b¤n l  66 iºm. iºm sè trung b¼nh cõa c¡c
b¤n nú l  70 iºm v  c¡c b¤n nam l  63 iºm. Häi t¿ l» sè b¤n nú v  sè b¤n
20

Sigma - MATHS

nam l  bao nhi¶u?

108. C¡c m¡y A, B v  C trong x÷ðng l¦n l÷ñt m§t 4, 5 v  6 phót º s£n xu§t
1000 vi¶n thuèc. Chõ x÷ðng nhªn ÷ñc ìn °t h ng 740 000 vi¶n thuèc â.
Häi b¡c §y c¦n chia cho c¡c m¡y sè l÷ñng vi¶n thuèc nh÷ th¸ n o º chóng b­t
¦u v  k¸t thóc ð còng mët thíi iºm?

7 ¡p ¡n v  líi gi£i mët sè b i to¡n chån låc
B i 3. So s¡nh c¡c ph¥n sè sau: 45 ; 87 ; 89 ; 12
11

8
<
¡p sè: 45 < 98 < 12
11 7

B i 11. Tuêi Bè b¬ng 98 tuêi Mµ, tuêi Lan b¬ng 14 tuêi Mµ, têng sè tuêi cõa
Bè v  Lan l  44 tuêi. Häi méi ng÷íi bao nhi¶u tuêi?

B i gi£i:

Ta câ 41 = 28 . Vªy tuêi Lan b¬ng 82 tuêi mµ.
Coi tuêi Mµ gçm 8 ph¦n b¬ng nhau th¼ tuêi Lan gçm 2 ph¦n v  tuêi Bè gçm
9 ph¦n.
44 tuêi gçm: 9 + 2 = 11 ph¦n.
Tuêi cõa Bè l : 44 : 11 × 9 = 36 (tuêi)
Tuêi cõa Lan l : 44 − 36 = 8 (tuêi)
Tuêi cõa Mµ l : 8 × 4 = 32 (tuêi).
¡p sè: Bè: 36 tuêi; Mµ: 32 tuêi; Lan: 8 tuêi.

B i 17. Mët ëi cæng nh¥n l m ÷íng trong 3 ng y. Ng y thù nh§t l m ÷ñc

cæng vi»c, ng y thù hai l m ÷ñc 38 cæng vi»c, ng y thù ba l m nèt 57 m²t
cuèi. Häi ëi cæng nh¥n â ph£i l m bao nhi¶u m²t ÷íng?
2
7

B i gi£i:

Sau hai ng y ¦u ëi cæng nh¥n â l m ÷ñc sè ph¦n sæng vi»c l :
2 3 37
+ =
7 8 56

(cæng vi»c)

Ph¥n sè ch¿ sè ph¦n cæng vi»c ëi cæng nh¥n l m trong ng y thù ba l :
21

Sigma - MATHS

1−

37 19
=
56 56

(cæng vi»c)

Sè m²t ÷íng ëi cæng nh¥n â ph£i l m l :
57 : 19 × 56 = 168

¡p sè: 168m ÷íng.

(m)

B i 26. Nh  An nuæi 8 con bá, trong â câ 3 con bá üc. Häi
a) Sè bá üc chi¸m bao nhi¶u ph¦n tr«m têng sè bá?
b) T¿ sè ph¦n tr«m giúa sè bá üc v  sè bá c¡i l  bao nhi¶u?

B i gi£i:

a) Sè ph¦n tr«m bá üc chi¸m l : 3 : 8 = 0, 375 = 37, 5%
b) Sè bá c¡i l : 8 − 3 = 5 (con)
T¿ sè ph¦n tr«m giúa sè bá üc v  sè bá c¡i l : 3 : 5 = 0, 6 = 60%
¡p sè: a, 37, 5% ; b, 60%

B i 34. Mët ng÷íi gûi ti¸t ki»m 15 tri»u çng vîi l¢i su§t 1, 1% mët th¡ng.
T½nh:
a) Sè ti·n l¢i sau mët th¡ng.
b) Sè ti·n c£ gèc v  l¢i sau hai th¡ng n¸u ng÷íi â ch¿ ¸n rót ti·n mët l¦n.
c) Sè ti·n c£ gèc v  l¢i sau ba th¡ng n¸u ng÷íi â ch¿ ¸n rót ti·n mët l¦n.

B i gi£i:

a) Sè ti·n l¢i sau mët th¡ng gûi l :

(çng)
b) Sè ti·n c£ gèc v  l¢i sau th¡ng thù nh§t l :
15000000 + 165000 = 15165000 (çng)
Sè ti·n l¢i cõa th¡ng thù hai l :
15165000 : 100 × 1, 1 = 166815 (çng)
Sè ti·n c£ gèc v  l¢i sau hai th¡ng gûi ti·n l :
15165000 + 166815 = 15331815 (çng)
c) Sè ti·n l¢i cõa th¡ng thù ba l :
15331815 : 100 × 1, 1 = 168649, 965 (çng)
Sè ti·n c£ gèc v  l¢i sau ba th¡ng gûi ti·n l :
15331815 + 168649, 965 = 15500464, 965 (çng)
¡p sè: a, 165 000 çng; b, 15 331 815 çng; c, 15 500 464, 965 çng.
15000000 : 100 × 1, 1 = 165000

22

Sigma - MATHS

B i 43. Mët ìn và bë ëi chu©n bà g¤o cho 70 ng÷íi «n trong 30 ng y. Sau
khi «n ÷ñc 6 ng y th¼ câ 10 ng÷íi chuyºn i nìi kh¡c. Häi sè g¤o cán l¤i õ
cho sè ng÷íi cán l¤i cõa ìn và â «n trong bao nhi¶u ng y núa? Bi¸t r¬ng mùc
«n cõa måi ng÷íi trong mët ng y l  nh÷ nhau.

B i gi£i:

Sè g¤o cán l¤i õ cho 70 ng÷íi «n trong sè ng y l : 30 − 6 = 24 (ng y)
Sè ng÷íi cán l¤i l : 70 − 10 = 60 (ng y)
T¿ sè sè ng÷íi tr÷îc v  sau khi chuyºn i l : 70 : 60 = 70
60
Vîi còng mët sè l÷ñng g¤o th¼ sè ng÷íi v  sè ng y «n l  hai ¤i l÷ñng t¿ l»
70 60
nghàch vîi nhau n¶n t¿ sè sè ng y «n l : 1 − 60
=
70
Sè g¤o cán l¤i õ cho 60 ng÷íi «n trong sè ng y l : 24 × 70 : 60 = 28 (ng y)
¡p sè: 28 ng y.

B i 48. Mët ëi xe vªn chuyºn câ 39 xe gçm hai tê: tê 1 l  c¡c xe lo¤i 8 t§n,
tê hai l  c¡c xe lo¤i 5 t§n. Häi méi tê câ bao nhi¶u xe? Bi¸t r¬ng hai tê nhªn
chð sè h ng hâa b¬ng nhau v  méi xe ch¿ chð mët l÷ñt.
¡p sè: Tê 1: 15 xe lo¤i 8 t§n; tê 2: 24 xe lo¤i 5 t§n

B i 73. Cho h¼nh tam gi¡c ABC câ iºm N l  iºm ch½nh giúa c¤nh AC, tr¶n
h¼nh â câ h¼nh thang BMNE nh÷ h¼nh v³. Nèi B vîi N, nèi E vîi M, hai o¤n
th¯ng n y g°p nhau ð iºm O.
a) So s¡nh di»n t½ch hai tam gi¡c OBM v  OEN.
b) So s¡nh di»n t½ch h¼nh tam gi¡c EMC vîi di»n t½ch h¼nh AEMB.

B i gi£i:

a) Hai tam gi¡c MBE v  NBE câ chung ¡y BE v  chi·u cao b¬ng nhau (v¼
23

Sigma - MATHS

BMNE l  h¼nh thang) n¶n SM BE = SN BE
(1)
V¼: SM BE = SOBM + SOBE ; SN BE = SOEN + SOBE
(2)
Tø (1) v  (2) suy ra: SOBM = SOEN
(3)
b) Hai tam gi¡c NAB v  NCB câ chung chi·u cao h¤ tø B v  ¡y NA b¬ng ¡y
NC n¶n SN AB = SN CB
(4)
Ta câ:
SEM C = SM ON C + SOEN = SN CB − SOBM + SOEN
(5)
SAEM N = SAEOB + SOBM = SN AB − SOEN + SOBM
(6)
Tø (3), (4), (5) v  (6) suy ra SEM C = SAEM B

B i 74. Cho tam gi¡c ABC. M l  iºm ch½nh giúa c¤nh BC, N l  iºm ch½nh
giúa c¤nh AC. AM v  AN c­t nhau t¤i G.
a) So s¡nh di»n t½ch tam gi¡c BGM, CGM, AGN, CGN.
b) Nèi C vîi G v  k²o d i CG c­t c¤nh AB t¤i P. Chùng minh AP = BP.

B i gi£i:

a) + Hai tam gi¡c AMB v  ACM câ còng chi·u cao h¤ tø A xuèng BC v  BM
= MC.
Suy ra: SABM = SACM = SABC
(1)
2
+ Hai tam gi¡c BAN v  BCN câ còng chi·u cao h¤n tø B xuèng AC v  AN =
CN.
(2)
Suy ra: SBAN = SBCN = SABC
2
Tø (1) v  (2), suy ra: SBCN = SACM
Hai tam gi¡c ACM v  BCN câ ph¦n chung l  tù gi¡c GMCN n¶n suy ra:
SBGM = SAGN
(3)
+ Hai tam gi¡c AGN v  CGN câ còng chi·u cao h¤ tø G xuèng AC v  AN =
CN.
Suy ra: SAGN = SCGN = SAGC
(4)
2
+ Hai tam gi¡c BGM v  CGM câ còng chi·u cao h¤ tø G xuèng BC v  BM =
CM.
Suy ra: SBGM = SCGM = SBGC
(5)
2
Tø (3), (4) v  (5), suy ra: SBGM = SCGM = SAGN = SCGN .
b) Theo chùng minh tr¶n, ta câ: SAGC = SBGC .
Hai tam gi¡c AGC v  BGC câ di»n t½ch b¬ng nhau v  câ chung c¤nh BC n¶n
chi·u cao h¤ tø A xuèng GC cõa tam gi¡c AGC b¬ng chi·u cao h¤ tø B xuèng
GC cõa tam gi¡c BGC.
24

Sigma - MATHS

Hai tam gi¡c AGP v  BGP câ chung c¤nh GP v  chi·u cao h¤ tø A xuèng GP
b¬ng chi·u cao h¤ tø B xuèng GP. Suy ra: SAGP = SBGP .
Hai tam gi¡c AGP v  BGP câ di»n t½ch b¬ng nhau v  chung chi·u cao h¤ tø G
xuèng AB n¶n AP = BP.

B i 76. T½nh di»n t½ch h¼nh thang ABCD. Bi¸t di»n t½ch c¡c h¼nh tam gi¡c
AOD v  DOC nh÷ h¼nh v³.

B i gi£i:

Hai tam gi¡c ADC v  BDC câ chung ¡y DC v  chi·u cao b¬ng nhau n¶n

SADC = SBDC
V¼: SADC = SAOD + SDOC ; SBDC = SBOC + SDOC
Suy ra: SAOD = SBOC = 10cm2

Hai tam gi¡c AOD v  DOC câ chung chi·u cao h¤ tø D v  SDOC = 2SAOD n¶n
OC = 2AO.
Hai tam gi¡c ABO v  BOC câ chi·u cao h¤ tø B v  ¡y OC g§p 2 l¦n ¡y AO
n¶n SBOC = 2SAOB .
Vªy: SAOB = 21 SBOC = 12 × 10 = 5 (cm2)
Do: SABCD = SAOB + SAOD + SDOC + SBOC n¶n di»n t½ch h¼nh thang ABCD l :
5 + 10 + 20 + 10 = 45 (cm2 )

B i 80. Cho h¼nh chú nhªt ABCD câ chu vi l  78cm, chi·u d i AB hìn chi·u
rëng BC l  15cm. Tr¶n BC l§y iºm M, tr¶n CD l§y iºm N sao cho hai ÷íng
th¯ng AM, AN chia h¼nh chú nhªt th nh 3 ph¦n câ di»n t½ch b¬ng nhau. T½nh
ë d i o¤n CM, CN.

25

Sigma - MATHS

¡p sè: CM = 4cm; CN = 9cm

B i 68. Hai thà x¢ A v  B c¡ch nhau 54km. Anh B¬ng i xe m¡y tø A ¸n B

v  anh Dông công i xe m¡y nh÷ng tø B v· A, hai ng÷íi khði h nh công mët
lóc v  sau 54 phót th¼ hai ng÷íi g°p nhau, ché g°p nhau c¡c thà x¢ A 25,2km.
Häi vªn tèc cõa méi ng÷íi l  bao nhi¶u?

B i gi£i:

Ta câ 54 phót = 109 gií = 0,9 gií.
Vªn tèc cõa anh B¬ng l : 25, 2 : 0, 9 = 28 (km/gií)
Qu¢ng ÷íng tø ché hai ng÷íi g°p nhau ¸n thà x¢ B l :
54 - 25,2 = 28,8 (km)
Vªn tèc cõa anh Dông l : 28, 8 : 0, 9 = 32 (km/gií)
¡p sè: Anh B¬ng: 28 km/gií; anh Dông: 32km/gií.
2 6
8
4 5
9
B i 98. ành ngh¾a ph²p t½nh mîi: 88 34 = 11
,
=
v 
= .
32 5 7 35
7 8 56
13 11
T¼m 15
.
12

24
¡p sè: 180

B i 100. Bèn h nh kh¡ch A, B, C, D °t ché ð mët kh¡ch s¤n 18 t¦ng. Hå

¸n tø c¡c n÷îc Trung Quèc, ùc, Mexico v  Ai Cªp. T¦ng m  A ð câ sè g§p
4 l¦n sè ð t¦ng cõa ng÷íi M¶-xi-cæ. Ng÷íi ùc ð cao hìn ng÷íi B 4 t¦ng nh÷ng
th§p hìn ng÷íi Ai Cªp. Ng÷íi Ai Cªp ð th§p hìn ng÷íi A 6 t¦ng. T§t c£ sè
t¦ng m  hå ð ·u l  sè ch®n. Gh²p A, B, C, D vîi óng §t n÷îc cõa hå v  sè
t¦ng trong kh¡ch s¤n.
¡p sè:
A →
D →
C →
B →

Trung Quèc
Ai Cªp
ùc
M¶-xi-cæ

→
→
→
→

Thù 16
Thù 10
Thù 8
Thù 4

26

Sigma - MATHS

B i 103. T½nh:

1
1

2+
3+

1
4+

1
5

68
¡p ...