TRƯỜNG THCS TRIỆU LỘC

TỔ KHTN
------------------------------

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HSG
Môn toán - Lớp 7 – thời gian : 150'

-----------------------------

Lần 5

ĐỀ BÀI

Câu I: ( 4,5 điểm).
1. Tính:
2. Cho biết

và

. Tính giá trị của biểu thức:

3. Chứng minh rằng: Nếu

thì

Câu II: ( 4,5 điểm).
1. Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn:
2. Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

3. Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x – 2 dư 2; f(x) chia cho x – 3 dư 7; f(x)
chia cho x2 - 5x + 6 được thương là 1 – x2 và còn dư.
Câu III: ( 3 điểm).
1. Tìm x, biết:
2. Cho các số dương

Câu IV: ( 6 điểm). Cho tam giác

thỏa mãn

cân tại

và

. Trên cạnh

Chứng minh rằng:

lấy điểm

(

khác

). Trên tia đối của tia
, lấy điểm sao cho
. Từ kẻ đường thẳng
vuông góc với
cắt
tại . Từ kẻ đường thẳng vuông góc với
cắt đường
thẳng
tại ,
cắt
tại .
1. Chứng minh
2. Chứng minh
.
3. Gọi là giao của đường phân giác góc và đường thẳng vuông góc với
tại . Chứng minh rằng
. Từ đó suy ra điểm cố định.
Câu V: ( 2 điểm). Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn
. Chứng
minh rằng : abcd + 2023 viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương

HẾT
ĐÁP ÁN

Câu I: ( 4,5 điểm).
1. Tính:

1,5
2. Cho biết

và

. Tính giá trị của biểu thức:

Giải

1,5

Vì

= 2023 – (-1) = 2024
3. Chứng minh rằng: Nếu

Giải

Vì

Câu II: ( 4,5 điểm).
1. Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn:
Giải
Ta có:

thì

1,5

1,5
Với
Với
Với
Với

thì
thì
thì
thì

Vậy
Học sinh có thể viết đẳng thức đã cho về dạng:
Từ đó tìm ra các cặp số (x,y)
2. Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải
Vì

là ba cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta có:

1,5

Cộng vế với vế của (1) (2) (3) ta được:

hay

3. Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x – 2 dư 2; f(x) chia cho x – 3 dư
7; f(x) chia cho x2 - 5x + 6 được thương là 1 – x2 và còn dư.
Giải
2
Vì đa thức chia là x - 5x + 6 có bậc bằng 2 vậy đa thức dư có bậc nhỏ hơn
2. Gọi đa thức dư là ax + b .
Suy ra : f(x) = (x2 - 5x + 6)( 1 – x2) + ax + b
f(x) chia cho x – 2 dư 2; f(x) chia cho x – 3 dư 7.
suy ra f(2) = 2 và f(3) = 7
f(2) = (22 – 5.2 + 6)( 1 – 22) + a.2 + b = 2
f(3) = (32 – 5.3 + 6)( 1 – 32) + a.3 + b = 7
Suy ra : 2a + b = 2
3a + b = 7
Suy ra : a = 5, b = - 8
Suya ra f(x) = (x2 - 5x + 6)( 1 – x2) + 5x – 8.

Câu III: ( 3 điểm).
1. Tìm x, biết:

1,5

2. Cho các số dương
rằng:

thỏa mãn

và

1,5

Giải
Vì

là các số dương và

Từ (1) và (2)

Vậy

, mà

Chứng minh

nên

Câu IV: ( 6 điểm). Cho tam giác

cân tại

. Trên cạnh

lấy điểm

(

khác

). Trên tia đối của tia
, lấy điểm sao cho
. Từ kẻ đường thẳng
vuông góc với
cắt
tại . Từ kẻ đường thẳng vuông góc với
cắt đường
thẳng
tại ,
cắt
tại .
a) Chứng minh
b) Chứng minh
.
c) Gọi là giao của đường phân giác góc và đường thẳng vuông góc với
tại . Chứng minh rằng
. Từ đó suy ra điểm cố định.
A
M
I

B

C

D

N

O
1. Vì

cân tại

Xét

nên

và

E

mà

(đối đỉnh)

có:

2,0

(cặp cạnh tương ứng).

b) Ta có

( đối đỉnh)

mà

phụ với

Suy ra
Xét

và

có
(cmt)

 ;

phụ với

(câu a)

2,0

(cặp cạnh tương ứng)
Lại có

mà

Trong tam giác vuông
giác)

có

Trong tam giác vuông
giác)

có

Từ đó có :

)

nên
(quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam
(quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam

hay

Xét

và

.

có

(

là tia phân giác góc

)

chung

(cặp cạnh tương ứng)
Và
Xét

( cặp góc tương ứng)
và

có
(câu a)

(cặp cạnh tương ứng)
Mà là trung điểm của
Do đó

( theo câu b)

là đường trung trực của MN. Vậy điểm O cố định.

Câu V: ( 2 điểm). Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn
. Chứng
minh rằng : abcd + 2023 viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
Giải
Ta có:

. Do đó ta có số chính phương lẻ

chia 8 luôn dư 1
Nếu a, b, c, d đều lẻ thì
chia 8 đều dư 1 dẫn đến không xảy ra
(vì vế trái chia 8 dư 1, vế phải chia 8 dư 3)
Vậy trong các số a, b, c, d phải có ít nhất một số chẵn nên
lẻ
Đặt

2,0